——“硬纸盒的最佳设计”教学案例
一、背景
人类的资源是有限的，如何充分利用有限的资源是摆在我们每个公民面前的一个非常实现的问题。本案例以“硬纸盒的最佳设计”为例，使学生认识人类资源的有限性和社会发展的可持续性的关系，逐步培养合理利用资源的习惯，关注社会、关注生活；使学生学会用“数学的思维”去观察和分析各种社会现象，从中抽象、概括、归纳、整理出其本质属性；使学生掌握一些科学探究方法，培养创新意识及实践能力，从而形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，认识数学的科学价值和人文价值。开展这项活动，事先要准备一张长80cm，宽50cm的长方形硬纸张、剪刀、透明胶、问卷及调查表等。
二、问题
一张长 ，宽 的硬纸张，现在我们要将其做成一个无盖长方体盒子（剪接处的厚度和损耗不计），为了充分利用资源，试问这盒子尽可能大的体积是多少？如何设计？
三、问题解决过程及初步成效
让学生在事先准备的硬纸张上剪拼、组合、探索、尝试，个人或小组设计方案，并计算所得几何体的体积值，教师通过巡堂，了解学生的实验情况和初步结果，选择其中一位同学谈谈他的想法。
生：如图，将长方形的四个角都去掉一个小长方形，围成一个无盖长方体。
师：请这种设计方案的同学裁剪之后再拼接起来尝试一下．并观察所得现象，发现围成的几何体上口并不平齐！
师：怎样才能做到上口平齐呢？
生：将剪去的四个小长方形改为四个全等的小正方形，
进一步探究:
设被去掉的小正方形的边长为 ，则
一学生提出质疑： 是不可能的，应该是 ，因为不存在这样的变量 使上述不等式中“=”成立，基本不等式求最值此时失效. 如何解决这个问题？
学生讨论：可否通过导数判断函数单调性，再用单调性求最大值。 学生尝试：
解得 （舍），
又当 ， 时， ，∴ 在（0,10）上递增；
当 ， 时， ，∴ 在（10,25）上递减.
∴当 ， 时，
同学们欢呼雀跃，真是“众里寻她千百度”，终于求得： ．
同学们还沉浸在妙趣横生的解题梦幻中！
教师抓住机会发问：这个结果是不是问题要求的尽可能大的体积呢？
学生反思：上述设计，体积并非最大，因为它至少“浪费”掉了四个小正方形铁皮，浪费率为： ！
教师感叹：一个惊人的浪费！如果每个人都是这样利用资源，那么在不久的将来，人类的资源必定消耗殆尽。同学们，你们有没有更好的设计方案，充分利用资源呢？开起你们的智慧，利用你们所学的知识，动手实践你的理想！
经过紧张的探索、讨论，以及动手实践、实验，教师巡视，及时加以指点，鼓动学生畅谈自己的设计理念：
生甲：为了充分利用铁皮，将剪下的四个小正方形，剪成小长方形铁条焊接到长方体的上口，可以增加体积。
具体做法是：因为以上所制作的无盖长方体的上口周长为 ，剪下四个边长为 小正方形，其总面积为 ，经过剪裁、焊接可得一个长为 （无盖长方体的上口周长），宽为 的长方形铁条，焊接到长方体的口上，可增加体积 ，容器的体积可达到
生乙：上述设计方案尽管体积增加了，但剪裁、焊接较复杂，实际操作性不强，即使剪裁焊接成功，容器的性能价格比也不占优。因此，我的设计理念是：剪裁、焊接点少，体积尽可能大。具体做法是：如下图，
将右侧剪下的两个边长为 的小正方形1和2焊接到左侧中间，经折叠、焊接成一长方体，此时，该长方体容器的长是 、宽 、高 ，体积为 ．可见，这一设计方案体积增大，操作更简单，结构更牢固，性价比较优。
一石激起千层浪，生乙的提案如醍醐灌顶，激发了同学们创新的欲望，大家纷纷发表自己的见解：
生丙：如果是这样的话，将上边的两个小正方形1和2焊接到下边中间,体积可能更大（直觉思维）！设计如图：
事实上，按照这种设计，经过焊接、折叠所得长方体容器的长是 、宽是 、高是 ，体积是：
，
实际制作也不复杂，但体积更大。
生丁：如果只要求体积最大，又不浪费铁皮，即所制作的无盖长方体容器的各个面的面积等于所给材料的面积，先不必考虑如何设计，可设该容器的长、宽、高分别为a、b、c，依要求可建立如下数学模型：
当 时， .
师：这个设计其实是一种理想模型，体积最大，可制作工艺要求很高。同学们，通过你们的共同努力，探索出了各种解决问题的办法，如果让大家作出一个评价，你们会有何感想！
请大家发表看法：有的选择最后一种方案，因为它符合题意，体积最大；有的又不欣赏最后一种方案，尽管它的体积最大，但不具有操作性，而且焊接点越多，质量越得不到保证；有的选择第四种方案，它的制作过程相对简单，更接近最大体积，而且没有“浪费” 。
师：同学们畅谈了各自的想法，考虑到了实际操作的方方面面，如可行性问题、效益问题、质量问题、资源配置问题等，这些都是参加社会生活、从事生产劳动所必须注意的；具体问题具体分析，是我们对待学习、生活、工作的态度；合理利用资源，也是我们应该养成的生活习惯。
下面这个问题请大家课后思考：
用边长为 的正方形钢板，拼接成一个正四棱柱或一个正四棱锥，使得其全面积等于正方形钢板的面积，如何拼接？谁的体积更大？
四、教师反思
数学是研究空间形式和数量关系的科学。数学能够处理数据和信息、进行计算和推理，可以提供自然现象、科学技术和社会系统的数学模型。随着社会的发展，数学的应用越来越广泛，它已经成为人们参加社会生活、从事生产劳动的需要。选择该主题的初衷是基于学生的直接经验，从紧密贴近学生自身生活选题，由学生自主实践和探索，同时结合我校“自主教育”模式，培养学生关注身边的人和事，养成节约资源，合理利用资源的习惯，提高学生动手实践能力和对知识综合运用的能力。
在选题之前，先设计问卷调查表，了解学生对该主题的了解、关注程度。从反馈情况看，学生对资源的利用有一定的了解，并且对如何合理配置、利用资源还比较关注，同时对硬纸盒的拼接有一定的经历和经验，所以选择该主题有其可行性和必要性。
课堂教学中，让学生自主实践，从探索中积累经验，一步一步完善自己的设计方案，提高动手能力。由方案一到方案五，直到最后的能力发展思考题，思维逐步深入，设计越来越完善，越来越合理，体现了学生的创新能力。在潜移默化中教会学生如何节约资源，如何合理利用资源。方案五从实际模型中跳出来，得到一种纯数学的理想化模型，反映了课本中的数学知识与实际生活中的具体应用间的差异，培养学生的应用意识。对五种方案的选择，提升了学生思维层次，同时注意回归主题——资源最佳利用。最后留一个课后思考题，意在进一步强化主题和培养学生综合实践能力。
整个课堂体现了对数学知识，实践经验等各方面知识的综合运用，从课堂上学生的配合情况及课后学生的反馈情况看，基本上达到预期的活动目的。
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