教学案例:椭圆离心率e的求法
编辑/作者:黎对彦        发布时间:2011-03-08      阅读:7117
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一、案例背景
当前高三数学课的教学模式,一般采用传统的教学方法——讲练结合法。虽然这种教学方法有教师易把握,学生易接受的优点,但是它有较浓的“灌”的味道,它不能体现以学生为主体,教师为主导的教学原则,不能充分地调动学生学习的主体能动性,不利于培养学生的创新意识与实践能力。本节课以“椭圆离心率e求法”为例(为了更加显示“启问”+“交流”的过程与特征,省略了部分课堂实况,教学过程中个别学生的发言依其原意稍作了润色。),介绍高三数学复习课的另一种教学模式——“启问”+“交流”的教学模式,以期与大家交流。
二、案例介绍
1、启问阶段
教师:请大家观察这个图形(图1),并设法算一算其中两个椭圆的离心率,看看有什么结论。


              


                         (图1)
学生1:两个椭圆的离心率相等,大小与长方形长和宽的比值相等。
学生2:“相似椭圆”的离心率相等。
教师:这就是说,椭圆的离心率只与它的“形状”有关,只要给出的条件能够确定椭圆的“形状”,就能求得它的离心率。
学生众:是的。
教师:有谁能够按此思路设计出这样的问题?
学生3:问题1  椭圆的长轴长是短轴长的2倍,求离心率e。
学生4:问题2  B是椭圆短轴的一个端点,E、F为其焦点,若EFB是直角三角形,求它的离心率e。
学生5:问题3:如图2,椭圆的左右两个焦点分别是F、E,过F且倾斜角为 的直线交椭圆于A、B两点。若 ,求离心率e(其余问题省略)。








                                     (图2)
教师:大家的问题基本上反映了椭圆的形状与离心率的关系,下面我们对这些问题做适当的讨论。
(讨论的过程省略,其间,同学们对除问题3之外的所有问题都作出了解答,但对问题3普遍感到困难,甚至对其条件的充分性产生了怀疑和争议)
学生若干:问题3的条件可能不足。
学生5:不,条件是足的。因为求e不需要确定椭圆的大小,只需要“形状”。
学生6:根据直线的倾斜角及所给的长度之比两个条件,椭圆的大小虽然不定,但其形状是受到约束的,所以我也认为e是确定的,不过不太好求。
教师:看来问题3很具有挑战性,由于时间关系,这个问题我们在课后继续研究,下一节课我们再一起讨论,好吗?
学生众:好!(第一课时结束)
2、自研阶段
课后学生自主钻研,准备在第二节课时参加交流。
3、交流阶段
(第二课时开始)
教师:课前我们对问题3做了探索,现在请大家分别谈谈自己的解题方案。
学生7:我觉得这是直线与圆锥曲线的位置关系问题,所以设想用它们的方程消元后用韦达定理来解。
解法1:令 ,代入 ,得
.
设 , ,则由题目的条件,得 ,即
由于韦达定理的结论不好用到这个式子上去,所以我没办法继续解下去。
学生若干:是的,我们也是利用这个方法,而且遇到了同样的困难。
教师:那么谁愿意尝试克服这个困难呢?
学生8:我来试试。解法1的困难可能是引进的字母的意义与长度不一致造成的,如果用直线的参数方程可能化解这一困难。
教师:创意不错!试过吗?
学生8:没有,但我可以现在试一试。
解法2:设直线AB的方程为:   代入 ,得

设A、B对应的参数分别为 、 ,则 = ,不过……对不起,韦达定理还是不好用上去……
教师:没关系,请坐,还有哪位同学谈谈?
学生9;我是把AB看成是由两条焦半径FA、FB组成的,从而把问题与椭圆的第二定义相联系,回避了韦达定理。
解法3:分别过A、B向左准线作垂线段 、 ,设AB与左准线交于C,
令 ,则  , ,从而 .
在三角形 中,角C是 ,所以 ,即
学生众:哇!……
学生10:学生9用的是第二定义,我用了第一定义觉得也不错。
解法4:设|AF|=2m,|BF|=m,则|AE|=2a-2m,|BE|=2a-m.在三角形AFE和BFE中,分别使用余弦定理,得
  
    消去m,得
   学生众:好,太漂亮了!
教师:的确漂亮!让我们对这两位同学表示祝贺!(掌声)
  学生11:大家都在回避韦达定理,我经过仔细的观察,发现用韦达定理是可以的,实质上方法1能进行下去。
教师:噢?请你说说看。
学生11:在解法1中,刚才我们过多关注的是韦达定理的形式的应用,而这是不必要的。实际上,由韦达定理及题设条件,得:
    
由上面三个式子,联立方程组消去 就可得只含有字母a、b、c的等式,再结合结论 就可求得出
教师:有道理!请大家一起解解看。
……
学生(陆续地):确实能做出来,但是有些繁。
教师:那么,现在再回头来看看解法2呢?
学生众:同样可以用学生11的方法来解。
教师:我们也向学生11表示祝贺!(掌声)
4、总结阶段(通常也是新的启问阶段)
   教师:谁愿意对刚才的过程做小结?

   学生12:我们得到的四种解法中,解法3、4较好,但是它们的共同特点都是回避了“韦达定理”这个“常规”,这说明看待一个问题要多角度,尽量避免思维惯性的影响。
  学生13:这四种解法都与初中的方程、平面几何等识知有关,所以我觉得我们还应该习惯于把新旧识知联系起来考虑问题。
教师:两位同学总结得很好。这节课上所有的同学都表现不错,我很想知道,今天我们讨论的内容,能否推进到双曲线上去?
……
  (第二节课在更加热烈的讨论中结束)


三、教学反思
长期以来,教师以“传道、授业、解惑”为己任,逐步形成了“通过教师答疑、解难,使学生不带问题走出教室”的课堂教学模式。这一模式天经地义地占据着我们的课堂,其正确性似乎永远用不着怀疑。造成课堂里“教”一统天下,“学”难以立足,课堂完全被异化的局面。
“启问”+“交流”的教学模式就是以启发学生的问题,设置主动参与的教学环境为重点,通过对传统的教学模式进行逆向重构得到的,是“通过教师启发、引导,使学生带着满脑子问题走出教室”的教学模式。它强调课堂的生命意义和生活化。其基本流程是:
启发学生问题


个人钻研问题


集体交流讨论
  

现在数学观认为,数学是人类的一种活动,是一种创造性活动。更细致的表述是:数学(活动)是人(主体)通过数学语言或数学方法在数学问题与数学结论之间进行的一种智力活动。数学学习的过程就是数学活动的过程。“启问”+“交流”的教学模式,在启问阶段、自研阶段、交流阶段都突出体现了主题参与的活动特征。
本节课“启问”得到的问题3对椭圆形状的约束条件比较隐蔽,其结果的不确定性,造成了学生新得认知冲突,激发了学生的探索欲望。整个交流过程涉及到普通方程、参数方程等内容,涉及到设而不求、方程、韦达定理、余弦定理、解三角形、消元引参数等思想方法。但一直到最后,本人并没有进行“事后诸葛亮”式的总结和点评,而是通过学生的参与,让其亲历问题的发现和思想方法的重建过程,有利于培养学生的观察能力和思维能力。