关键词：问题解决 认知价值 教学设计 探究思维
一、问题解决的简要背景
问题解决是继上个世纪60年代“新数学运动”、70年代“回归基础”之后国际数学教育界的又一个浪潮。1980年美国数学教师协会在《关于行动的议程》中提出：数学课程应当围绕问题解决来组织，教师应创造一种使问题解决得到蓬勃发展的课堂环境，把学生引进问题解决中去。继1980年第四届国际数学教育大会（ICME-4）之后的第五、六、七、八届，都把问题解决列为主要专题。近年来，基于问题解决的建构主义教学设计也成为数学教育的一个热点。
问题解决是心理学、教育学、数学教育学等多学科多学派研究的对象。认知心理学认为：问题解决是具有目标指向的认知性操作序列，即问题解决是一个具有目标指向的操作序列，而且过程蕴涵着充分的认知价值。问题解决有两种基本类型：一是需要构建新的程序的问题解决，属于创造性问题解决；二是运用现成的程序的问题解决，是常规性问题解决。数学教学中的问题解决更注重创造性问题解决。
二、问题解决与新课程下的数学教学理念
高中新课程对教师的教学方式及学生的学习方式提出了新理念。新课程下的数学教学理念认为，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还倡导学生积极主动、合作交流、勇于探索的学习方式，使学生在学习数学和运用数学解决问题时，亲历直观感知、观察发现、空间想像、归纳类比、抽象概括、演绎证明、反思与建构等思维过程，进而达到自主建构和不断完善认知结构的目的。
而基于问题解决的教学设计是以一定的问题情境为基础的。所谓问题情境，是指问题的刺激模式，即问题是以怎样的形态和方式来组成与出现的。数学的问题情境可以是探究情境、应用情境等。在课堂教学中，通过问题情境吸引学生试图去达到某一目标，而学生与目标之间又存在一定的距离，因而引起学生内部的认知矛盾冲突，进而激发学生积极心理状态，即产生思考、探究和达到目标的心理倾向，使脑海里形成强烈的解决问题的意识，从而促进学生积极主动的学习活动。简言之，基于问题解决的教学设计就是注重问题设计，注重探究过程，注重挖掘问题解决过程中的认知价值，从而充分调动学生学习主动性，激发学生勇于探索，自主建构知识，发展智力的过程。
由此可见，基于问题解决的教学设计是实现新课程理念的有效方案。
三、基于问题解决的数学教学设计实践
基于问题解决组织教学的前提是设计“好问题”。
张奠宙先生在《数学素质教育设计》中对“好问题”提出了五条标准[1]：
（1）各种不同水平的学生都可以由浅入深地作出回答，不一定有终极答案；
（2）对学生来说不是常规的，不能靠简单的模仿来解决；
（3）可以是一种情景，其中隐含的数学问题靠学生自己去提出、求解并作出解释；
（4）具有趣味和魅力，能引起学生的思考和向学生提出智力挑战；
（5）解决它往往需拌以个人或小组的数学活动。
可见，“好问题”必须具备三个条件：即可接受性，障碍性和探究性。它的解决过程必须蕴涵着一系列新的思维策略，才能对学生现有智力构成一定的挑战，才能充分激发学生在认知活动中的主动探究欲望。
怎样设计“好问题”？
美国创造学家奥斯本曾经为企业界专门设计一个激发发明创新的稽核表，它是针对开发新产品而设计的。教学中，教师可以吸收奥斯本的思想,制定一个适合于教学的问题稽核表，借以设计“好问题”：
（1）问题的条件可否改变？问题的结论可否加强？
（2）问题的逆命题是否成立？
（3）特殊问题可否引伸出一般形式?
（4）现有问题可否进行类比联想？
（5）现有的问题正确吗？能否构造反例？
（6）现有的解法是否最佳？可否运用另一种观念来思考？
……
实例1 设计类比性的问题
在立体几何教学中，运用新颖开放的高考题型设计问题情景：
问题1-1 在侧面两两垂直的三棱锥中，求证： ，其中ｓ是底面积， 分别是三个侧面面积。
问题1-2 在平面几何中，直角三角形满足勾股定理： 。在侧面两两垂直的三棱锥中是否有类似的结论？（2003年高考题改编）
显然，问题1-1是个常规习题，而问题1-2蕴涵的探究价值是明显的，问题解决的过程是：问题情景----类比猜想----写出结论----证明猜想。
实例2 对已有结论进行加强
在不等式教学中，挖掘教材例题的深度设计问题情景：
问题2-1：求证：若a ,b ,c是正数，则 （选修课本4-5例题，略有改编）。
问题2-2：可否修改上述问题的条件，使得不等式是严格的？
问题2-2是开放性的设问（答案之一： 是不全相等的正数），它的提出无疑对学生具有吸引力，在一定程度上激发了学生在认知活动中主动探究的兴趣。
实例3：从具体问题拓展到一般性的探索性问题
在解析几何教学中，改编常规习题，使具体问题拓展到更一般问题：
问题3-1：在椭圆 上求点P，使得P到两焦点的连线互相垂直。
问题3-2：若椭圆是一般的： （ ），这样的P点是否存在？
问题3-2具有一定的探究性和研究性，不能靠简单模仿问题3-1的解法来解决。解决问题3-2，必须探求新的思维途径，其过程一般包括：首先要找出P点与两焦点连线的最大张角（ ），然后才研究P点存在的充要条件（ 或 ）。
类似的，将常规的不等式证明问题改变为以下探索性问题：
问题3-3：设 、 是直角三角形的两直角边， 是斜边。观察以下式子： ， ，你能猜想到什么结论？（当ｎ≥３,ｎ∈Ｎ时， ＜ ）
在课堂教学中，数学概念、定理等教学内容的设计也可以围绕问题解决来组织。教师依据课程目标，设计一系列的子问题组成一个问题链，该问题链实际构成一个问题解决（具有目标指引的认知性操作序列）。
实例4 ：寻找新的证明方法 —— 数学归纳法的教学
问题4-1：我国古代是运用烽火台来传讯敌情的，即在边关和指挥部之间修建一系列的烽火台，当前方发现敌情时，立即通过烽火台传到指挥部。请你给指挥部制定一个“点火规则”。
问题4-2：等差数列的通项公式 是运用不完全归纳法得到的，因此它的正确性必须通过严格证明。请你制定一个证明方案。
问题4-3：由问题4-2拓展到一般，即怎样证明命题P 对 成立。
以上三个子问题组成一个问题链。问题4-1贴近学生的认识经验，因此都会主动参与。他们制定的规则是开放性的，但是抽象出来最终只有两条：
（1）边关第一个烽火台若发现敌情必须点火；
（2）第1个烽火台往后的任意一个烽火台，若发现前面相邻的那台点了火，则该台必须点火。
当学生发现了烽火台点火中的递推基础和递推关系时，数学归纳法思想的形成就成为可能了。
实例5：课本知识的拓展——简谐振动的合成
问题5-1：证明： ，其中 ， 的终边由点 确定。请说明这个结论的物理意义。
问题5-2：你能否将上述结论推广到更一般的情形？
问题5-1是课本问题的一般化，运用正弦和余弦定义不难得证，它的物理意义是两个周期相同、相位差 的简谐振动的合成仍然是简谐振动，周期不变。对这个问题的拓展出现两种情形：（1）周期相同、相位差不一定是 ；（2）周期不同。为了减少繁琐的运算，教师可以引导学生举具体的例子来加以论证。如前者，举出 和 ，经过论证发现它们的合成仍然是简谐振动，周期不变。如果有学生提出后者，可举出 和 ，在公共周期 里观察图象，直观得出猜想结论（事实上 ，合成不再是简谐振动，而是复谐振动）。
基于问题解决的教学设计的核心观念是把教学过程看成是数学知识的再创造、再发现的探究过程，它要求教师善于从较高的观点上挖掘教材，依据学生的思维特点，设计出“好问题”，使学生主动参与，互相合作，积极探究，在课堂活动中自主建构知识结构的同时发展探究思维能力。
参考文献
[1]张奠宙，《数学素质教育设计》，南京：江苏教育出版社，1996年
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