一、案例背景
在高三年级的数学复习课的教学过程中，常常需要运用已学过的数学知识来培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生善于应用归纳、类比的思维方式和创新能力。于是我在复习解析几何中圆锥曲线这一章时，就设计了这一节课：用圆锥曲线的统一定义求解一类最值问题。
二、教学过程
1、创设情境
出示例题：
例1、给定A （ 2，2 ），已知B是椭圆 上的动点，F是左焦点，当|AB| + |BF|取最小值时，求B的坐标。（告诉学生本题是1999年全国高中数学竞赛试题，分值20分，让学生的情绪被调起来。）
2、分析例题
首先作图分析，看看题目提供了哪些已知信息： 定点A（ 2，2 ），椭圆方程，点B在椭圆上，左焦点F（ 3，0 ）。
其次分析题目需要我们解决什么问题？当|AB| + |BF| 取最小值时，点B的坐标。表面上是点B的坐标，而实质上是如何让|AB| + |BF| 取得最小。观察|AB| + |BF| 的结构和线段的几何意义，|BF|是动点到焦点的距离，它可以用动点到相应准线的距离来表示， 有什么意义？恰好是椭圆的离心率的倒数， |BF| 正好是动点到左准线的距离。问题转化为椭圆上一点到一定点和一定直线距离之和最小的问题。
3、解答例题
解：如图（略），依题意有：左焦点F（ 3，0 ）， 离心率e = ，
左准线 L方程：x = ，
过点A作 L 的垂线AM，垂足为M。
过点B作 L 的垂线BN，垂足为N。于是有：
|AB| + |BF| = |AB| + |BN| ≥ |AN|≥ |AM| （定值），当且仅当B是AM与椭圆的交点时等号成立，此时B（ ，2 ）。
所以，当|AB | + | BF | 取最小值时，点B的坐标为（ , 2 ）
4、题后探究
在求解本题过程中， |AB| + |BF| 的最小值是多少？本题的实质是什么？抓住解题的实质，把曲线椭圆能否改为双曲线或抛物线？
学生积极思考和演算。
学生甲：|AB| + |BF|的最小值为：|AM| = 2 + = 。
学生乙：本题的实质为：|AB| + |BF| 的几何意义，即曲线上点B到定点A的距离与它到定直线（左准线）的距离之和为最小。
学生丙：可以把椭圆改为双曲线或抛物线。也可以调整定点A的位置，左焦点也可以改为右焦点，但一定要是求|AB| + |BF| 的最小值。
5、举一反三
例2、抛物线y2 = 2x上一点M，到焦点F与它到点A （ 3，2 ）的距离之和为最小时，
点M的坐标为 。
教师通过作草图分析，学生计算。很快学生就计算出M点的坐标为（ 2，2 ），有的学生甚至抓住点M的纵坐标为2，即刻求出横坐标。
例3、已知P点为双曲线 右支上的一点，定点A（ ， 3 ）。点F为双曲线的右焦点，当| PA| + |PF| 取最小值时，点P的坐标为 ，其最小值为 。
教师仍然通过草图分析。学生自已求解，很快大多数学生就抓住点P的纵坐标为3，横坐标为4 ，即P （4 ， 3），最小值是点A的横坐标与右准线横坐标之差，即 = 2 。
这两个例题以填空题的形式出现，没有影响试题的本质，学生很快应用例1的方法求解出结果，又免去出中间繁琐的证明过程，对作草图的要求只须反映其特征即可，更能体现数学的魅力。此时学生的兴趣大增，信心十足，不仅觉得全国高中数学竞赛试题不过如此，而且知到了命题教师不过是通过这一本质进行形式上的改变而矣。
6、课堂练习
根据以上方法，采用类比的形式，每人拟编一道试题，同桌之间相互解答。
一会儿，若干优秀试题随即产生，并且同桌的同学很快能求解出结果，如：
1、点A是椭圆 上的一点，点P（5，2 ），右焦点为F，则| AP | + | AF | 的最小值是 。
2、 设P点是抛物线y2 = 12x上一点，点M（ ， 2 ），点F为焦点，则| PM| + | PF|的最小值为 。
7、小结
本节课的主要内容是应用圆锥曲线的统一定义，求解此类最值问题，即：设P点为曲线（椭圆、双曲线或抛物线）上一点，定点A（ m，n ），F为其中一焦点，当|PA| + |PF| 取得最小值时，求点P的坐标，其最小值是多少？其求解的本质就是把 |PF| 转化为点P到相应准线的距离。不仅会求解此类最值问题，而且还要依此方法拟编出若干质量较好的数学试题。在拟编时要注意定点A应在相应曲线的“内部”。
三、教学设计思路
圆锥曲线的统一定义：平面内，动点M到定点F的距离和它到一条定直线 L 的距离之比是常数e，当0＜e ＜1时，点M的轨迹是椭圆；当e ＞1时，点M的轨迹是双曲线；当e =1时，点M的轨迹是抛物线。其中定点F为其焦点，定直线 L 是相应的准线。
本节课的重点是解决点M到焦点F的距离与它到相应的准线 L 的距离之间的相互转化，从而达到求解最值的目的。
通过本节课，让学生学会自已拟编数学试题，特别是会用设计一些形式优美、解法合理的优秀试题，以提高学习数学的兴趣和创新思维。
四、课后反思
1、本节课应该说来是一节较为成功的课。学生学习的数学知识和能力，在某种意义上来说，是要通过解题的形式来体现；特别是重点中学的高中生，要想在高等院校继续深造和学习，那就必须在高考中获得成功，这种成功的具体体现就是求解试题。因此高三年级的复习中应注意学生解题能力的训练，基本上能做到举一反三，熟练解决若干常规题型，积累解题经验和技巧，会类比、归纳和拓展，把复杂的数学思想转化为简章的数学方法。
2、本节课还注意对学生学习数学兴趣的培养和自信心的树立。学生要对学习数学产生兴趣就必须以会求解数学试题为基础，从中去体会数学的美与和谐。对高中学生来说，会解毕业会考试题，是最基本的要求；会解高考试题，是训练的主要目标之一；会解竞赛试题，则提高层次的境界了，那只有少数同学才能达到的。于是本节课就用解数学竞赛题入手，与学生一起来揭开其神秘的面纱，从而达到树立自信心的目的。
事实上，本节课基本上达到了上述两个目的，学生不仅会求解类似数学问题，而且还产生学习数学的浓度兴趣，长期养成了良好的思维习惯，其成绩进步也很明显。
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