摘要：通过对两节数学公开课的对比分析，归纳总结出几点合理的数学教学建议。
关键词：函数单调性、导数
一、 案例背景
2005年12月3日是那大中学的教学开放日，那天，高二两位数学教师都上了同一节内容《函数单调性与导数》，这节内容在高中数学选修1－1（文科）和选修2－1（理科）都有。因为文理科学生的基础不一样，因此教师处理该节教材内容的手法也不同。下面我就针对两个班级授课的具体情况来谈谈两位教师的教学设计的优劣之处。
课程标准要求分析（文理相同）：结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式的单调区间。
授课情况分析：
教师
任教班级情况
学生人数
课时安排
教学内容
A
文科普通班
60
上午第一节
函数单调性与导数
B
理科集训班
46
上午第四节
函数单调性与导数
学生情况分析：
文科普通班：该班学生数学基础普遍很差，接受新知识、运用新知识的能力较差，上课思维不活跃，学习很被动，大部分学生常常开小差。
理科集训班：该班是高二年级理科尖子班，班上学生整体基础较好，学生接受和运用新知识的能力教强；课堂上学生思维活跃，积极解答老师给予的题目。
教师情况分析：
教师A：只有一年教龄的新教师，教学经验相对不足。
教师B：已经教过一届高中（05届），具有三年教龄的教师，有一定的教学经验。
知识与技能目标分析：
1、理解并掌握函数单调性与导数之间的关系
2、会根据导数判断函数的单调性
3、会根据导数求函数的单调区间
教学重难点分析：理解并掌握导函数正负与函数单调行之间的关系
二、案例介绍（教学设计及教学过程介绍）
教师A
教师B
导
入
设
计
通过让学生观察具体的函数图并回答相应的问题：
问：函数在（a，b）上是否具有单调区间？
学生回答：有
问：1、函数的单调递增区间？
2、函数的单调递减区间？
学生回答正确。
教师接着引导学生回忆函数在某一点处的导数的几何意义是：函数在该点处切线的斜率。并在上面的函数图像上找点画出相应的切线，让学生观察增减区间上图像上点的切线有何不同。从而导入新课：函数单调性与导数
先请一位同学回忆函数单调性的定义，并紧接着问学生改如何根据定义判断函数的单调性（举例分析）
例子：讨论函数 的单调性。
学生回答：根据函数图像可知：
函数在 上单调递增，在 上单调递减。
教师问：那怎样求形如： 的单调性呢？
学生答：可以利用导函数来求
具体做法：作切线看斜率（即该点的导数）， 正负与 单调性的关系。
引入新课：（板书课题）函数单调性与导数
y=x
y
O
x
O
y
x
y
O
x
新课讲解
通过观察函数单调区间上的切线我们发现：
增区间上的切线： ，即 在增区间上为正
减区间上的切线： ，即 在减区间上为负
那这个结论是否具有一般性呢？
教师布置任务给学生：观察教材 的函数图像，验证结论。
学生看书，教师把教材上的四个函数图像画到黑板上.
图一： , ,
图二：
图三：
图四：
都
请学生口头归纳：在某个区间内，如果 ，那么函数 在该区间单调递增；如果 ，那么函数 在该区间单调递减。
师：导数运用于（1）判断函数单调性
（2）求函数单调区间
例1、 证明函数 在（0，2）内是减函数。
教师板书证明过程
例2（教材例题）、已知导函数的下列信息：当1＜x＜4时，
当x＞4时，
当x＝4时，
试画出函数的大致形状。
教师完成图像，解析：图像可以上下移动。
例3（教材例题）函数的单调区间
（1）
（2）
（3）
（4）
教师板书讲解（1），（2）；请一个学生上黑板完成（3），该学生不懂做，教师完成解答并板书结果。
教师小结：本节课的关键是判断导函数正负与原函数单调性的关系
作业：
P27 练习1
布置任务：要求学生观察讨论教材 的函数图像，并归纳函数单调性与导数的关系。
学生看书，教师把教材上的四个函数图像画到黑板（图形同左）
图一： ,
图二：
提醒学生注意： 不影响函数的单调性
图三：
所以当 时，
图四：
都
请学生归纳并上黑板板书：
生板书：一般地，函数单调性与其导函数正负有如下关系：在某个区间内，如果 ，那么函数 在该区间单调递增；如果 ，那么函数 在该区间单调递减
问题1、已知导函数的下列信息：
当2＜x＜5时，
当x＜2或x＞5时，
当x＝2或x＝5时，
试画出函数的大致形状。
教师学生画出图像，学生完成后教师问全体学生：图像唯一吗？可以上下移动吗？
问题2、用导数判断函数的单调性，并求出单调区间。
（1）
（2）
（3）
（4）
教师板书（1）（2）解题过程
请学生归纳这类题的解题步骤：
生A先回答后学生二做了补充：
（1）求导
（2）解不等式 和
（3）根据不等式解集写出函数的单调区间
要求学生自己完成（3）（4），教师核对答案。
课堂练习：教材
1、 判断函数单调性，并求出单调区间
（2）
请一个学生上黑板解答。（学生答对）
课后思考题：求函数 的单调性，并求出单调区间。
小结作业：
教材 A组 1
三、案例分析
教师A
教师B
导入设计分析
通过观察直观函数的图像，让学生能从图像上点的切线斜率的观察中归纳总结出切线斜率函数单调性的关系，结合上节课讲解的导数几何意义从而引出导数与函数单调性的关系。
这样导入设计不仅符合课程标准的要求：结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，通过形象直观的函数图像使文科班的学生能较快的理解并接受知识，进而顺利的进入新课的讲解。
从回忆函数单调性的定义开始，并举实际的（二次）函数例子分析其单调性，进一步深化题目（三次函数的单调性分析）从而引出课题。
这样的导入设计符合课程标准要求：能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式的单调区间。直接让学生领会了本节课的教学目标。有利于理科集训班学生思维能力的展开。
导入设计均满足了课程标准的要求，也较符合学生的实际情况，很合理。
新课讲解分析
教师A在让学生观察四个函数图像并归纳结论的教学中，可以采用教师B的教学方法：即先根据导函数公式求出函数的导函数 ，直接判断当x变化时导函数的正负情况，从而直观的得出导函数与函数单调性的关系，因为在求解函数单调性时我们一般采用先求出导函数再判断导函数正负的方法。所以在这个问题的处理上教师B做得较好些，符合教学目标要求：理解并掌握函数单调性与导数之间的关系
在例题的选择上教师A选用课后练习第3题作为第一个例题，对于基础较差的文科班学生来说难度较大，新课一开始就容易遇到障碍，产生畏难情绪，如果把这个例题放到后面讲效果很会更好些。教师B没有直接讲解书本例题1，而是将例题1做了稍微的改动变成同类型的题目给予学生思考，这样设计的问题1就能吸引思维活跃的理科集训班学生积极思考问题。所以第一个例题的选择上教师B的题目相对来说更符合学生的实际情况。
接下来的教师A的例题2，3是引用的教材上的两个例题，教师B给出的问题2也是直接引用的教材例题2，都充分利用了教材资源。但在教师A在讲解完例题3的（1）（2）小题后没有归纳出一般的解题方法就直接教学生上黑板完成（3），对于文科班的学生来说很难掌握解题基本步骤，以至于被叫到的学生不懂解题。这一点教师B在教学过程中就做得较好些，他请学生一先归纳，学生二来补充，教师进一步小结得出利用导数求函数单调性一类题的详细解题步骤。
课堂气氛上，文科班的学生明显不如理科班的学生思维活跃，文科班的学生上数学课很被动，不像理科班的学生充满激情。
在练习的安排上，教师A由于安排了较多例题，导致还没有讲解完最后一个例题就下课了，没有时间给学生做课堂练习。教师B安排了教材练习中的一个关于小题给学生做为课堂训练，并请学生板书结果，进一步活跃了课堂气氛。
教师B 还安排了可后思考题给学生课余讨论，有利于拓展学生思维，并进一步加深对本节知识的理解与巩固，符合新课程改革的教学要求。作业安排上都较合理，能让学生及时运用本节所学知识解决相关问题。
两位教师都能做到合理利用教材资源，知识源于教材而不拘泥于教材，根据学生的实际情况合理安排教学内容，把握了教学重难点，很好的完成了三维教学目标，板书都非常工整，两节公开课都上得较成功，教师A作为一名刚刚成长起来的新教师教学得基本技能掌握得很好，但相比之下教师B的新课教学设计更符合新课程理念的要求，更好的完成了教学目标，符合课程标准的教学要求。教师A教学过程中未能充分体现新课程下教师主导和学生主体的关系，并且设计的例题过多，例题展示的先后顺序需要进一步调整，才能更吸引数学基础较差的文科班学生的数学学习兴趣，达到更好的教学效果。
从两位教师的公开课教学设计和两个班学生的实际听课效果分析得出新课程下的数学教学中需要处理好以下几个关系：
1、 尊重教材与灵活处理教材的关系
教材是落实课程标准、实现教学计划的重要载体，也是教师进行课堂教学的基本依据。但教材内容和教学内容并不是等值对应的，教学内容来自于师生对课程内容与教材内容及教学实际的综合加工，不仅包括教材内容，而且还包括了师生在教学过程中的实际活动。教师创造性地运用教材主要表现在两个方面。一是对教材的灵活应用；二是对课程资源的合理的利用。只有创造性使用教材，才能实现教学内容和教学方法与手段的完美统一；才能使教材的普遍性与本地区的特殊性实现有机结合；才能最大限度地满足学生对学习内容、教学方法的需求，充分调动教学双方的积极性，提高教学效率。
2、三维目标之间的关系
新课程教学要围绕“知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观”三个维度进行。知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观的三维一体的目标结构体系，在教学中并不是孤立的、并行的关系，而是以知识与技能为载体，其他两维融于其中，整体推进的关系
知识是多种多样的，能力也是多种多样的。不应要求学生清一色地去获取某些知识和具备某些能力，而应当让学生有自由发展的空间，根据各自的爱好，发挥各自特长，使每个学生得到充分发展。
3、教师主导与学生主体的关系
在新课程中，课堂由以教师为中心转向以学生为中心，注重了学生的主体性和个性，教师不再主宰课堂，教师的角色由单纯的知识传授者转为学生学习的组织者、引导者和合作者；要淡化主角意识，把表演的空间和时间让给学生，教师由主演变为导演。教学是教与学的统一，也是教师主导作用与学生主体作用的统一，这种统一是通过师生之间的交往与互动来实现的。课堂上要师生互动、积极交往、共同发展，教学中要引导学生动手、动口、动脑，积极主动地参与师生双边活动，使学习的过程成为学生实践、体验、探索、成长的过程，培养学生主动思维、积极探索、互相合作的学习品质。教师要摆正自己的位置，力求建立平等、民主、和谐的师生关系，使教学真正从学生的学出发，随时根据学生学的情况调整教学。
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