一、案例背景
根据学生的认知结构理论，我们知道，学习是学生在原有知识经验基础上主动认知新知识的过程。这一过程实际上是学生将原有知识与新知识（包括思想、观点、方法）进行有效组合与沟通。而学生已掌握的知识、方法的迁移，水平、能力的提高均依赖于这个过程。从这个意义上来说，数学学习实际上是指学生对数学现象的领悟和实质理解。抽象函数这部分内容，体现了数学的高度抽象性和简洁性，而函数性质的综合运用，可以有效的培养学生的发散思维。近几年，高考几乎每年都有类似的题目。由于它的提干都是由抽象的数学符号给出，因此它对学生阅读理解数学语言和符号的能力要求很高。对学生的思维能力是一个很大的挑战。因此，教师在教学时必须准确的把握，才能让学生更加体会和运用。
二、案例介绍
（1）本节课的教学目标
1、知识与技能
①使学生深刻理解函数的奇偶性、周期性、对称性等性质。掌握代数变换的方法。
②学会阅读理解数学语言和符号，会综合运用函数性质解题。
2、过程与方法
通过让学生经历阅读、理解、探索求解的过程，渗透化归转化的思想、数形结合的思想。寻求合理、有效的途径，解决数学问题。
3、情感、态度、价值观
使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神。
4、重点：综合运用函数性质解题
难点：对文字语言、符号语言、图形语言三种语言的理解和相互转换。
（2）教学设计思路
1、首先通过复习函数的性质导入，训练学生对数学的文字语言、符号语言和图形语言这三种语言的相互转换
2、例1的设计的意图是：加深学生对函数概念、性质的理解。教学生学会阅读、理解数学语言、符号；学会文字语言、图形语言、符号语言的相互转化。通过一题多解、一题多思，渗透化归转化和数形结合的思想，以及代数变换的方法，培养他们的思维能力。
3、例2的设计的意图是：主要让学生独立思考解答，探求多种解法，思考、交流、表达，体现学生主体参与合作学习。要求学生综合运用函数性质解题，提高他们抽象思维能力，问题延伸思考，对于较好学生，让他们课后继续钻研，提高分析问题、解决问题能力，也体现了分层教学的思想。
（3）教学过程
师：前面我们已经分别复习了函数的奇偶性、单调性、对称性及周期性等。今天我们学习函数性质的综合运用。请先思考回答以下问题：
①若函数f（x）是奇函数，如何用符号表示？用图形表示？
②若给出图形（图形略）
请用文字语言叙述它的对称性，用符号如何表示？
③若f（x+2）=f（x），你能有何结论？如何用文字语言叙述，用符号表示？
生1：①f（-x）=-f（x）
生2：②函数f（x）关于x=1对称，即f（1+x）=f（1-x）
生3：③f（x）是周期函数，周期为T=2，示意图：（图形略）
师：由f（x+2）=-f（x）你能说出什么信息？
生：f（x）的周期是T=4
师：为什么？能否用图象解释？
生：将式中的x用x+2来替代，得到：f（x+4）=-f（x+2）
又因为-f（x+2）=f（x），所以f（x+4）=f（x）即：T=4
但是不太会用图像来解释。
师：提示：从图示看出f（x+4）=f（x）的周期为4。
总结：通过对函数的奇偶性、对称性、周期性等性质的复习，我们要熟悉数学的文字语言，符号语言，图形语言三种语言的转换。
好，下面我们来看例1
例1：设f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）=?
生1：利用周期性
由f（x+2）=-f（x）可得到f（x+4）=f（x）
所以f（7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5）=-0. 5
生2：直接利用f（x+2）=-f（x）
f（7.5）=f（5.5+2）=-f（5.5）=-f[-f（3.5）]=f（3.5）=-f（1.5）=f（-0.5）=-0.5
师：还有其他方法吗？
f（x）是奇函数且f（x+2）=-f（x），除了能说出周期T=4外，还能说出哪些信息？
生：f（x+2）=-f（x）=f（-x）
而f（x+2）=f（-x）得到f（x）关于直线x=1对称
师：很好，你能否根据函数的对称性、周期性及奇偶性，画出它的图象？从而利用图象来解题呢？
生： （图形略）从图中可以看出f（7.5）=f（-0.5）=-0.5
师：我们在解题的过程中，应善于利用数形结合的思想方法，有时能收到意想不到的效果的，锻炼了我们的思维。
师总结：方法一：主要要求对符号的深刻理解及获取信息
方法二：利用f（x+2）=-f（x），通过转化达到解题的目的，渗透了转化的思想
方法三：利用函数的几何性质，通过作图，利用数形结合的思想来解题。
下面我们来将这道题目进行变化：
变化1：已知条件不变，问题变为当x∈[-1，0]时，求f（x）的解析式
生1：设x∈[-1，0] 则-x∈[0，1]
∴f（-x）=-x，又∵f（-x）=-f（x）
∴f（x）=x ∴当x∈[-1，0]时，f（x）=x
师：能否总结一下解题步骤？
生2：小结：首先要“问啥设啥”，不要把变量设错了区间；
第二，把变量转化到已知区间上去
最后，再利用函数的奇偶性、周期性求出f（x）的解析式。
变化2：当-1≤x≤1时，f（x）的解析式
生：由已知和变化1可知当-1≤x≤1时，f（x）=x
变化3：当x∈[3，5]时，求f（x）的解析式
生：设x∈[3，5]，则x-4∈[-1，1]
∴f（x-4）=x-4∵T=4 ∴f（x）=x-4
变化4：当x∈[1，3]时，求f（x）的解析式
生：设x∈[1，3]，则x-2∈[-1，1]
∴f（x-2）=x-2∵T=4 ∴f（x-2）=f（x+4-2）=f（x+2）=-f（x）
∴-f（x）=x-2 ∴f（x）=2-x
师：小结：上面这四个变化训练要求我们要掌握代数变换这种数学方法，体会化归转化的思想在解题过程中的运用。
例2：定义在（-∞，+∞）上的偶函数y=f（x）满足关系f（x+2）=-f（x）且f（x）在区间[-2，0]上是增函数，那么以下结论正确的有----------
①y=f（x）是周期函数
②y=f（x）的图象关于直线x=2对称
③y=f（x）在区间[2，4]上是减函数
生1：①f（x）是周期函数，T=4
师：②分析：要证明直线x=2是y=f（x）图象的对称轴，只需要证明什么关系式成立？
生：只需证f（2-x）=f（2+x）或证f（-x）=f（4+x） 或证f（x）=f（4-x）
师：那我们选择证第三个等式f（x）=f（4-x）成立
生：∵f（x）的周期T=4，且f（x）是偶函数
∴f（4-x）=f（-x）=f（x）即f（x）=f（4-x）
∴y=f（x）图象的对称轴x=2
③：生1：有已知在区间[-2，0]上，y=f（x）是增函数，由于y=f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，那么在[0，2]上y=f（x）是减函数，又由于y=f（x）图象关于直线x=2对称，所以y=f（x）在区间[2，4]上是增函数
所以结论错误
生2：也可以借助于图象（示意图，图形略）证明③是错误的
师：请同学们课后对问题进行延伸思考：
通过以上两个例题，我们发现这样一个结论：
如果f（x）具备奇偶性，同时f（x）的图象还关于某条直线对称，则f（x）是周期函数，你认为这个结论成立吗？请证明（让学生课后证明，培养学生自主探究的能力）。
（4）课堂总结：（师生共同完成）
·要求对函数性质有深刻的理解及三种数学语言的理解转化
·掌握代表变换的方法，体会数形结合、化归思想在解题过程中的应用
·进一步培养学生的抽象思维能力
课堂检测：已知定义在R上的周期函数y=f（x），周期T=4，若y=f（x）的图象关于直线x=2成轴对称图形 。 求证：y=f（x）是偶函数
三、反思
·这节课的教学环节，设计比较合理。特别是课前的复习导入，加强学生对数学的文字语言、符号语言、图形语言三种语言理解和相互转换，
·例1的三种解法和四种变化，从不同的角度和方面加深了学生对函数有关概念性质的理解，对数学语言阅读能力的培养，同时对提高他们的抽象思维能力是极有好处的
·学生课堂上的反映热烈，积极参与，回答问题踊跃。特别是一些平时成绩中下的学生也积极发言，很想表现自己，渴望得到同学们的认可。看来，如果平时也经常关注这部分学生，多给他们成功的机会，调动他们参与课堂的积极性，那么他们一定回愿意学，乐于学，学好的
·从课堂小测反馈的情况看，有少数学生对这部分内容的掌握还有困难，不会阅读，理解数学符号，因此运用起来感到比较困难，无从下手解题，因此对这部分学生还得加强课后的辅导。
·课堂上的教学程序基本上是设计安排好的，如果在教学的过程中，没有让学生发现问题、提出问题，从而解决问题，这对培养学生的创新意识和能力是有碍的，对培养学生的发散思维也是不利的。在复习时间紧迫的情况下，在课堂上，如何既让学生有一定的时间体会探索，发散思维，甚至充分暴露思维的错误，又能按时完成课时进度，落实各个知识点，这实在是太难了啊！这正是本人在教学时感到困惑的地方，不容易处理好这个问题。
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