[案例题旨]
函数的奇偶性是函数的一个重要性质,它有助于培养学生的理解能力，推理论证能力和探索精神，在高中数学中占有重要的位置。本案例研究的主要问题有：
1、函数奇偶性的定义是什么？如何理解？
2、如何利用奇、偶函数的定义判断某些简单函数的奇偶性。
3、若f1（x）为R上的奇函数，f2（x）为R上的奇函数，g （x）为R上的偶函数，h（x）为R上的偶函数，探究f1（x） ·h（x）,g（x） ·f2（x）,f1（x） ·f2（x）,g（x） ·h（x）的奇偶性。
4、奇函数，偶函数的图像有何特点？
[案例背景]
研究函数的奇偶性对了解函数的性质非常重要,如果我们知道一个函数是奇函数或偶函数,则只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分,就可得出这个函数在另一部分上的性质和图像.本节的学习重点是:关于奇函数,偶函数概念的理解,掌握奇函数偶函数的图像的特点.本节课学习目标定为 ①会用定义法判断简单函数的奇偶性.②会用定义探究f1（x） ·f2（x） （ f1,f2 可能同为奇函数或同为偶函数或一个为奇函数,一个为偶函数） 的奇偶性.
[教学设计过程]
片段一:
师：在定义中,都有如果对D内的任意一个x , 必有一个-x也在D内，这说明了什么？
生：这说明一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于坐标原点对称。
师：回答得很好！同学们再思考一下，如果一个函数的定义域不关于坐标原点对称，那么这个函数还会是奇函数或偶函数吗？
生：一定不会，这是函数既不是奇函数也不是偶函数，因为失去了是奇函数或偶函数成立的前提条件。
师：下面同学们根据奇函数，偶函数的定义判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=x+1 （2）f（x）=x2+1 （3）f（x）=x（x2+1）
生：（1）既不是奇函数也不是偶函数；
（2）是偶函数； （3） 是奇函数.
师：完全正确！同学们思考f（x）=kx+b（k≠0）有可能是奇函数或偶函数吗？请展开讨论。
生1：有可能是奇函数，如当b=0时，f（x）=kx（k≠0）满足f（-x）= -f（x）。
生2：他说的正确，但我认为f（x）=kx+b（k≠0）一定不是偶函数，因为f（-x）≠f（x）.
师：你们总结的很好，当b=0时，f（x）=kx（k≠0）满足f（-x）= -f（x）；当b≠0时，f（-x）≠f（x），f（-x）≠-f（x）, f（x）=kx+b（k≠0）既不是奇函数，也不是偶函数。
那同学们再思考f（x）=ax2+bx+c（a≠0）是否具有奇偶性呢？
生：可能具有也可能不具有，特别的当b=0时，f（x）是偶函数；b≠0时既不是奇函数，也不偶函数。
师：好。对于我们熟悉的一次函数f（x）=kx+b当b=0时为奇函数，否则既不是奇函数，也不偶函数；二次函数f（x）=ax2+bx+c当b=0时为偶函数，否则既不是奇函数，也不偶函数，希望同学们理解并记住。
师：下面同学们再思考f（x）=x（x2+1）可看成一个奇函数y1=______和偶函数y2=_____的乘积？它是奇函数吗？这说明什么？
生：y1=x,y2=x2+1这说明一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的乘积是奇函数（ f（x）=g（x）·h（x） ）
师：好，那么如果g（x）和h（x）同为偶函数或奇函数呢？
生：f（x）为偶函数。因为f（-x）=g（-x）·h（-x）=g（x） ·h（x） （或f（-x）= -g（x） ·[-h（x）]=g（x） ·h（x））
师：很好。
片段2：
师：奇函数或偶函数的图象有何特点？请同学们作出y= -2x和y=x2+1的图象，并观察有何特点？
生：奇函数y= -2x的图象是一条过原点的直线，并且关于原点成中心对称图形；偶函数y=x2+1的图象是一条抛物线，顶点是（0，0）、开口方向向上，且关于y轴对称。
师：回答得太棒了！大家再作出y=4x和y=x2的图象，观察是否有类似的规律？
生：y=4x的图象也是关于原点成中心对称图形；y=x2与y=x2+1的图象一样也关于y轴对称。
师：同此我们猜想，奇函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，反之亦然；偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数。
师：请同学们思考自学课本P51倒数第二段。
生：噢，原来如此。
师：根据奇、偶函数图象的特点请同学们思考如何作出函数y=1/x2的图象？
生3：该函数的定义域为（0，+∞）∪（-∞，0），又是偶函数，只需作出y=1/x2在（0，+∞）上的图象，但我不知该怎样做？
生4：用描点法。（主动到黑板上做图，并根据对称性做出另一部分。）
生（全体）：真棒！
师：好。同学们，本节课，我们重点学习奇函数，偶函数的定义，大家在理解定义的基础上，要学会判断一个函数的奇偶性。请大家课后总结定义法判断函数奇偶性的步骤，并探究函数f（x）= 的奇偶性。
[案例后记]
本节课是学生应认真学好的一节课，应重点剖析奇函数，偶函数的概念，并会应用。
课堂教学前后分别安排以下练习：
预习：
1、作出y= x 3 和y=x2的图象
2、自学课本51页~52页第3段，了解主要内容
3、了解奇、偶函数图象的特点
练习：课本P53练习A1、2
[教后感] 本节课在教学实施的过程中还是遇到了一定的实际困难，有的同学对奇、偶函数的定义感到比较抽象，难于理解；有的同学对奇、偶函数的图象特点的证明思路不够明确。我认为这节课如果结合多媒体教学，让学生结合多个函数的图象观察奇、偶函数的图象的对称性效果会更好些。
|
|